在数学学习中，最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）与最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）是两个非常重要的概念。它们不仅在理论研究中有广泛应用，也是解决实际问题时不可或缺的工具。为了帮助大家更好地掌握这两个知识点，下面我们将通过一系列精选练习题来巩固相关技能。

基础练习题

1. 求以下两组数的最大公因数：

- （1）18 和 24

- （2）35 和 50

提示：可以先列出每个数的所有因数，然后找出共同的因数中最大的那个。

2. 求以下两组数的最小公倍数：

- （1）12 和 16

- （2）20 和 25

提示：可以通过列举倍数的方式找到最小公倍数，或者利用公式 \( \text{LCM}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{GCD}(a, b)} \) 进行计算。

提高练习题

3. 如果一个数既是 45 的因数，又是 60 的因数，则这个数可能是多少？请列出所有可能的答案。

提示：寻找同时满足条件的因数，需要结合 45 和 60 的最大公因数。

4. 已知两个正整数的积为 720，且它们的最大公因数为 12，请问这两个数分别是多少？

提示：设这两个数分别为 \( x \) 和 \( y \)，则有 \( x \times y = 720 \) 以及 \( \text{GCD}(x, y) = 12 \)。可以通过分解质因数的方法求解。

综合应用题

5. 小明有若干颗糖果，如果每袋装 8 颗，则刚好分完；如果每袋装 12 颗，则也刚好分完。请问小明至少有多少颗糖果？

提示：此问题实际上是求 8 和 12 的最小公倍数。

6. 甲、乙两人分别从同一地点出发跑步，甲每分钟跑 9 米，乙每分钟跑 12 米。经过多长时间后，两人再次回到起点？

提示：此问题可以转化为求 9 和 12 的最小公倍数。

拓展思考题

7. 设 \( n \) 是一个正整数，若 \( n \) 能被 3 整除，并且 \( n \) 的最大公因数与最小公倍数相等，则 \( n \) 可能是多少？

提示：假设 \( n \) 的最大公因数为 \( d \)，则根据题意可得 \( d^2 = n \)。结合 \( n \) 能被 3 整除这一条件进行分析。

通过以上练习题，相信你对最大公因数和最小公倍数有了更深刻的理解。这些知识不仅能够帮助我们解决数学问题，还能在生活中发挥重要作用。希望大家勤加练习，不断提升自己的能力！