【那个向量a平行向量b的公式和垂直公式是什么】在向量运算中，判断两个向量是否平行或垂直是常见的问题。了解它们的数学表达式有助于更深入地理解向量之间的关系。以下是对“向量a平行于向量b”的公式与“向量a垂直于向量b”的公式的总结。

一、向量平行的条件

当两个向量方向相同或相反时，称这两个向量为平行向量（也称为共线向量）。数学上，可以通过向量的点积或向量的叉积来判断它们是否平行。

1. 点积法（二维/三维）：

若向量 $ \vec{a} = (a_1, a_2) $，$ \vec{b} = (b_1, b_2) $，则：

- 点积公式：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

$$

- 平行条件：

若 $ \vec{a} \parallel \vec{b} $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} $ 或 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -\vec{a} \cdot \vec{b} $，即点积等于两向量模长的乘积或其负值。

2. 叉积法（仅限三维）：

若 $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $，$ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $，则：

- 叉积公式：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

$$

- 平行条件：

若 $ \vec{a} \parallel \vec{b} $，则 $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} $，即叉积结果为零向量。

二、向量垂直的条件

当两个向量的夹角为90度时，称这两个向量为垂直向量。判断向量是否垂直，主要依赖点积。

1. 点积法（二维/三维）：

若 $ \vec{a} = (a_1, a_2) $，$ \vec{b} = (b_1, b_2) $，则：

- 点积公式：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

$$

- 垂直条件：

若 $ \vec{a} \perp \vec{b} $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $

三、总结表格

通过以上公式和条件，可以快速判断两个向量之间是否平行或垂直。在实际应用中，如物理、工程、计算机图形学等领域，这些知识具有非常重要的作用。