【高数公式汇总】高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，其内容广泛、公式繁多。为了帮助学习者更好地掌握和复习，本文对高等数学中常用的公式进行了系统性整理，涵盖函数、极限、导数、积分、微分方程等多个方面，以加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。
一、函数与基本初等函数
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 常见函数 | $ y = x^n $ | 幂函数，$ n $ 为实数 |
| 指数函数 | $ y = a^x $ | $ a > 0, a \neq 1 $ |
| 对数函数 | $ y = \log_a x $ | $ a > 0, a \neq 1 $ |
| 三角函数 | $ y = \sin x, \cos x, \tan x $ | 周期函数，定义域需注意 |
| 反三角函数 | $ y = \arcsin x, \arccos x, \arctan x $ | 定义域与值域明确 |
二、极限与连续
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 极限定义 | $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ | 表示当 $ x $ 趋近于 $ a $ 时，函数趋近于 $ L $ |
| 无穷小量 | $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $ | 函数值趋于零 |
| 无穷大量 | $ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $ | 函数值趋于无限大 |
| 极限运算法则 | $ \lim (f(x) \pm g(x)) = \lim f(x) \pm \lim g(x) $ | 适用于极限存在的函数 |
三、导数与微分
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 导数定义 | $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $ | 函数在某点的瞬时变化率 |
| 常用导数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ | 幂函数求导 |
| 三角函数导数 | $ (\sin x)' = \cos x $, $ (\cos x)' = -\sin x $ | 三角函数的基本导数 |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数求导方法 |
| 高阶导数 | $ f''(x) = \frac{d^2 f}{dx^2} $ | 二阶导数表示曲线的凹凸性 |
四、积分与不定积分
| 类别 | 公式 | 说明 | ||
| 不定积分 | $ \int f(x) dx = F(x) + C $ | $ F'(x) = f(x) $ | ||
| 基本积分 | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | $ n \neq -1 $ | ||
| 三角函数积分 | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $, $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | 常见积分公式 | ||
| 分部积分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ | 用于复杂函数的积分 | ||
| 积分表 | $ \int e^x dx = e^x + C $, $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | 常用积分结果 |
五、定积分与应用
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 定积分 | $ \int_a^b f(x) dx $ | 表示函数在区间上的面积 |
| 微积分基本定理 | $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $ | $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数 |
| 定积分性质 | $ \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx $ | 积分区间的可加性 |
| 应用实例 | 面积、体积、弧长、平均值等 | 通过积分计算几何或物理量 |
六、微分方程初步
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 一阶线性微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ | 可用积分因子法求解 |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ | 可分离变量后积分求解 |
| 二阶常系数齐次方程 | $ y'' + py' + qy = 0 $ | 特征方程为 $ r^2 + pr + q = 0 $ |
| 特征根情况 | 实根：通解为 $ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $ | 复根：通解为 $ y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) $ |
七、泰勒展开与麦克劳林展开
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 泰勒展开 | $ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots $ | 在 $ x=a $ 处展开 |
| 麦克劳林展开 | $ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots $ | 在 $ x=0 $ 处展开 |
| 常见展开 | $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots $, $ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | 常用函数的展开形式 |
总结
高等数学中的公式虽然繁多，但只要理解其背后的数学思想，并结合练习加以巩固，就能逐步掌握并灵活运用。本文通过文字说明与表格形式，对常见公式进行了归纳整理，希望对大家的学习和复习有所帮助。建议在学习过程中注重公式的推导过程和应用场景，提升综合分析能力。
