等差数列的通项公式通常写作 an = a1 + (n - 1)d，其中 a1 是首项，d 是公差，n 是项数。这个公式把数列中任意一项与首项、公差、项数连接起来。只要给出首项和公差，就能计算第 n 项；给出某一项和其他参数，也能求出对应项数或其他项。它也是推导前 n 项和公式、判断数值在数列中的位置、完成数列填空和数学建模的常用工具。
基本公式与符号含义
| 符号 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| an | 第 n 项 | 表示等差数列中第 n 个位置上的数 |
| a1 | 首项 | 数列第一个数 |
| d | 公差 | 后一项与前一项的固定差值 |
| n | 项数 | 表示第几项 |
常用计算路径
- 已知 a1 和 d：使用 an = a1 + (n - 1)d，直接计算第 n 项。
- 已知 an、a1 和 d：先代入 an = a1 + (n - 1)d，再求 n。
- 已知 ak 和 d：使用 an = ak + (n - k)d，先补回从第 k 项到第 n 项的变化。
- 已知 an 和 ak：使用 n = (an - ak) / d + k，求项数。
- 已知公式：逐项代入 n = 1, 2, 3，检查数列是否按等差规律排列。
等差数列的通项公式变式
| 已知条件 | 可用公式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| a1、d、n | an = a1 + (n - 1)d | 求第 n 项 |
| an、a1、d | n = (an - a1) / d + 1 | 求项数 |
| ak、d、n | an = ak + (n - k)d | 从某一项推另一项 |
| an、ak、d | n = (an - ak) / d + k | 已知某项和另一项求位置 |
典型例子
例子一：已知首项和公差求第 n 项
已知 a1 = 3，d = 2。
代入公式：
an = 3 + (n - 1) × 2
化简：
an = 2n + 1
当 n = 10 时：
a10 = 2 × 10 + 1 = 21
这个等差数列的通项公式就是 an = 2n + 1。
例子二：已知第 5 项和公差求通项
已知 a5 = 17，d = 3。
使用变式公式：
an = ak + (n - k)d
代入：
an = 17 + (n - 5) × 3
化简：
an = 3n + 2
所以等差数列的通项公式可以写成 an = 3n + 2。
例子三：利用公式求项数
已知等差数列的通项公式为 an = 5n。
现在要求 200 在第几项。
代入：
5n = 200
解得：
n = 40
因此 200 是这个数列的第 40 项。
与求和公式的关系
等差数列的通项公式和前 n 项和关系紧密。
常用前 n 项和公式：
Sn = n × (a1 + an) / 2
把 an = a1 + (n - 1)d 代入，可得：
Sn = n × [2a1 + (n - 1)d] / 2
所以掌握等差数列的通项公式后，可以直接服务数列求和、项数判断、参数代入和公式推导。
【常见问题】
问题1：等差数列的通项公式怎么书写？
回答1：等差数列的通项公式一般写作 an = a1 + (n - 1)d。这个等差数列的通项公式用首项 a1、公差 d 和项数 n 来表示第 n 项。
问题2：已知第 k 项时，等差数列的通项公式怎么用？
回答2：如果已知第 k 项 ak，可以把等差数列的通项公式写成 an = ak + (n - k)d。这样使用等差数列的通项公式，能够从一项推到另一项。
问题3：利用等差数列的通项公式如何求项数？
回答3：可以先写出等差数列的通项公式 an = a1 + (n - 1)d，再把已知项代入公式。若已知 ak，也可以使用 n = (an - ak) / d + k。等差数列的通项公式在这里就是求项数的主要工具。
问题4：等差数列的通项公式对求和有什么帮助？
回答4：等差数列的通项公式可以求出 an，然后代入 Sn = n × (a1 + an) / 2。这样等差数列的通项公式就能直接服务于前 n 项和计算。
问题5：等差数列的通项公式和数列规律有什么关系？
回答5：等差数列的通项公式就是把数列规律写成代数表达式。通过等差数列的通项公式，可以确定任意位置的项，也可以检查数列是否按固定差值递增或递减。
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